Quimica, Chemical: Kinetic Energy in a Gas / Energia cinética de un gas

Kinetic Theory of Gases
Temperature and pressure are macroscopic properties of gases. These properties are related to molecular motion, which is a microscopic phenomenon. The kinetic theory of gases correlates between macroscopic properties and microscopic phenomena. Kinetics means the study of motion, and in this case motions of gas molecules.
At the same temperature and volume, the same numbers of moles of all gases exert the same pressure on the walls of their containers. This is known as Avogadros principle. His theory implies that same numbers of moles of gas have the same number of molecules.

Common sense tells us that the pressure is proportional to the average kinetic energy of all the gas molecules. Avogadros principle also implies that the kinetic energies of various gases are the same at the same temperature. The molecular masses are different from gas to gas, and if all gases have the same average kinetic energy, the average speed of a gas is unique.
Based on the above assumption or theory, Boltzmann (1844-1906) and Maxwell (1831-1879) extended the theory to imply that the average kinetic energy of a gas depends on its temperature.
They let u be the average or root-mean-square speed of a gas whose molar mass is M. Since N is the Avogadro's number, the average kinetic energy is (1/2) (M/N) u2 or M 3R T 3
K.E. = --- u2 = ---- = --- k T
2 N 2 N 2
Note that M / N is the mass of a single molecule. Thus,
u = (3k N T / M)1/2 = (3 R T / M)1/2. where k (= R/N) is the Boltzmann constant. Note that u so evaluated is based on the average energy of gas molecules being the same, and it is called the root-mean-square speed; u is not the average speed of gas molecules.
These formulas correlate temperature, pressure and kinetic energy of molecules. The distribution of gas speed has been studied by Boltzmann and Maxwell as well, but this is beyond the scope of this course. However, you notice that at the same temperature, the average speed of hydrogen gas, H2, is 4 times more than that of oxygen, O2 in order to have the same average kinetic energy.

El postulado básico de la teoría cinética de los gases es que las direcciones y las magnitudes de las velocidades de las moléculas están distribuidas al azar.
Cuando nos referimos a las velocidades de las moléculas, las medimos respecto del centro de masas del sistema gaseoso, por tanto, la presión y la temperatura del gas no se modifican si el recipiente que lo contiene está en movimiento.
Si suponemos que las velocidades en el sentido positivo del eje X (o del eje Y o Z) son igualmente probables que en el sentido negativo, las velocidades medias a lo largo de los ejes son cero, es decir.
===0.
Por otra parte, se cumplirá que las velocidades a lo largo del eje X no estarán relacionadas con las velocidades a lo largo del eje Y o Z, por tanto,
==.
Como el cuadrado del módulo de la velocidad es v2= v2x +v2y +v2z resulta que <>=3<>

La presión ejercida por el gas
Supongamos que el gas está encerrado en un recipiente, tal como se muestra en la figura. El recipiente dispone de un émbolo móvil de área A. Para mantener fijo el émbolo es necesario ejercer una fuerza F, normalmente a la superficie del émbolo. El valor de la fuerza F es igual al producto de la presión ejercida por el gas por el área del émbolo.
F=PA
Las moléculas del gas chocan elásticamente con el émbolo, de modo que la componente X de la velocidad cambia de sentido. Por tanto, el cambio en el momento lineal de cada molécula es
Dp=2mvx
Si el número total de moléculas que chocan con el émbolo en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+Dt es Nx, la variación de momento lineal será 2mvxNx.
Podemos calcular Nx considerando que solamente la mitad de las moléculas, en promedio, tienen el sentido de la velocidad hacia la parte positiva del eje X, es decir, se dirigen hacia el émbolo.
Si suponemos que las moléculas que chocan con el émbolo tienen el mismo valor de la componente X de la velocidad, cruzarán el área A en el tiempo Dt todas las partículas contenidas en el volumen AvxDt. Si n es el número de partículas por unidad de volumen Nx valdrá entonces, nAvxDt/2.
La variación de momento lineal Dp en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+Dt es mvx nAvxDt.
La fuerza sobre el émbolo es el cociente entre el cambio de momento lineal y el tiempo que tarda en efectuarse dicho cambio.
y por tanto, la presión ejercida por el gas vale
P=n(mv2x)
Todas las moléculas no tienen el mismo valor vx de la velocidad, sino que la distribución de velocidades es tal que su valor medio cuadrático es . Por tanto, en la expresión de la presión P, hemos de sustituir v2x por .
(1)
ya que =/3
El último término que aparece en la fórmula es el valor medio de la energía cinética.